Konsep bilangan adalah salah satu dasar matematika yang sangat penting, dan dalam matematika, bilangan dapat dikelompokkan ke dalam berbagai kategori, salah satunya adalah bilangan rasional. Bilangan rasional adalah topik sentral dalam matematika dengan beragam penerapan dalam kehidupan sehari-hari. Artikel ini akan menguraikan pengertian, rumus, operasi hitung, dan memberikan beberapa contoh bilangan rasional.

Apa Itu Bilangan Rasional?

Bilangan rasional merupakan bentuk bilangan dalam matematika yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan pembilang (numerik) dan penyebut (denominator) yang merupakan bilangan bulat, dengan syarat bahwa penyebutnya tidak boleh nol. Dengan kata lain, bilangan rasional dapat diungkapkan dalam bentuk a/b, dimana “a” dan “b” merupakan bilangan bulat.

Contoh bilangan rasional termasuk bilangan bulat seperti 2, -5, & 0, serta pecahan seperti 1/2, -3/4, dan 7/3. Selain itu, akar kuadrat dari bilangan bulat non-negatif juga bisa merupakan bilangan rasional, misalnya √4 = 2, dan √9 = 3, karena keduanya dapat diekspresikan sebagai pecahan (2/1 dan 3/1).

Namun, penting untuk dicatat bahwa tidak semua bilangan adalah bilangan rasional. Bilangan seperti √2 dan π (pi) tidak dapat diekspresikan sebagai pecahan dengan bilangan bulat yang tepat dan oleh karena itu disebut sebagai bilangan irasional. Jadi, bilangan rasional adalah subkelas dari semua bilangan yang ada, dan mereka memiliki sifat-sifat matematika yang khusus yang membedakan mereka dari bilangan irasional.

Rumus Bilangan Rasional

Rumus bilangan rasional merupakan pedoman matematis yang digunakan dalam melaksanakan perhitungan matematika dasar, seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, pada bilangan rasional. Di bawah ini, terdapat beberapa rumus dasar yang terkait dengan bilangan rasional:

1. Penjumlahan Bilangan Rasional 

Operasi penjumlahan antara dua bilangan rasional, a/b dan c/d, dapat dijalankan dengan menggunakan rumus berikut: (a/b) (c/d) = (ad bc) / (bd). Dalam rumus ini, a, b, c, & d merupakan bilangan bulat, dan syaratnya adalah b & d harus memiliki nilai yang tidak sama dengan nol.

2. Pengurangan Bilangan Rasional 

Hasil pengurangan dua bilangan rasional, yang masing-masing dinyatakan sebagai pecahan a/b & c/d, dapat ditemukan dengan rumus (ad – bc) / (bd), dengan syarat bahwa a, b, c, dan d adalah bilangan bulat, dan baik b maupun d harus berbeda dengan nol.

3. Perkalian Bilangan Rasional 

Untuk mengalikan dua bilangan rasional, yaitu a/b & c/d, kita dapat menggunakan rumus berikut: (a/b) x (c/d) = (ac) / (bd), dengan syarat bahwa a, b, c, dan d adalah bilangan bulat, dan b serta d tidak boleh sama dengan nol.

4. Pembagian Bilangan Rasional

Pembagian dua bilangan rasional, a/b & c/d, dapat dijalankan dengan menggunakan rumus berikut: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) x (d/c) = (ad) / (bc), dengan syarat bahwa a, b, c, dan d adalah bilangan bulat, dan tidak boleh ada yang nol di antara b, c, dan d.

Rumus ini berperan sebagai dasar yang krusial untuk melaksanakan operasi matematika pada bilangan rasional, membentuk landasan yang terstruktur dan terorganisir dalam melaksanakan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan rasional.

Operasi Hitung Bilangan Rasional

Operasi hitung pada bilangan rasional melibatkan tindakan matematika dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bilangan yang bisa dinyatakan sebagai pecahan, yang terdiri dari pembilang dan penyebut. Beberapa contoh bilangan rasional mencakup 1/2, 3/4, dan -5/6. Berikut adalah beberapa operasi umum yang dapat diterapkan pada bilangan rasional.:

1. Penambahan (Addition):

Dalam operasi hitung bilangan rasional, penambahan dilakukan dengan menggabungkan dua pecahan (rasio) menjadi pecahan tunggal.

• Contoh: 1/3 2/5
• Cara: Untuk menambahkan dua bilangan rasional, kamu harus memiliki penyebut yang sama. Jika penyebutnya berbeda, kamu harus mencari persamaan penyebut terkecil (Least Common Denominator) dan setarakan pecahan. Kemudian, tambahkan pembilangnya.

2. Pengurangan (Subtraction):

Dalam operasi hitung bilangan rasional, pengurangan dilakukan dengan mengurangkan satu pecahan dari pecahan lainnya.

• Contoh: 5/8 – 3/4
• Cara: Sama seperti penambahan, pastikan penyebutnya sama, atau setara dan pecahan jika diperlukan. Kemudian, kurangkan pembilangnya.

3. Perkalian (Multiplication):

Dalam operasi hitung bilangan rasional, perkalian dilakukan dengan mengalikan dua pecahan atau lebih untuk menghasilkan pecahan baru.

• Contoh: (2/3) * (5/4)
• Cara: Lakukan perkalian antara pembilang dengan penyebut dan penyebut dengan penyebut.

4. Pembagian (Division):

Dalam operasi hitung bilangan rasional, pembagian dilakukan dengan membagi satu pecahan oleh pecahan lainnya atau dengan membagi bilangan bulat dengan pecahan

• Contoh: (3/4) / (1/2)
• Cara: Untuk membagi dua bilangan rasional, ambil kebalikan (reciprocal) dari bilangan kedua (pembaginya) dan kemudian kalikan. Misalnya, (3/4) / (1/2) = (3/4) * (2/1) = 3/2.

Pastikan selalu menyederhanakan hasil operasi jika mungkin, yaitu dengan mencari faktor persekutuan terbesar (FPB) antara pembilang dan penyebut untuk menyederhanakan pecahan.

Contoh sederhana:

Berikut adalah contoh sederhana tentang operasi hitung pada bilangan rasional:

• Penambahan: 1/4 1/4 = (1 1) / 4 = 2/4 = 1/2 (setelah disederhanakan).
• Perkalian: (2/3) * (3/5) = (2 * 3) / (3 * 5) = 6/15 = 2/5 (setelah disederhanakan).

Penting untuk memahami operasi dasar pada bilangan rasional karena bilangan rasional digunakan dalam banyak konteks dalam matematika dan ilmu pengetahuan lainnya.

Contoh Bilangan Rasional

Berikut adalah beberapa contoh bilangan rasional, termasuk yang sederhana dan kompleks, yang sering muncul dalam kehidupan sehari-hari:

1. Bilangan Rasional Sederhana:

1/2 (satu per dua), 3/4 (tiga per empat), dan 2/5 (dua per lima) adalah contoh sederhana dari bilangan rasional yang merupakan pecahan yang sering digunakan dalam perhitungan sehari-hari.

2. Bilangan Bulat:

Bilangan bulat seperti -3, 0, dan 5 juga adalah bilangan rasional karena mereka dapat bisa dinyatakan dalam bentuk p/q dengan q=1.

3. Angka Desimal Terbatas:

0.25 (dua per empat) adalah bilangan rasional karena dapat diekspresikan sebagai 1/4.

4. Angka Desimal Berulang:

0.333… (tiga per tiga berulang) adalah bilangan rasional karena dapat diekspresikan sebagai 1/3.

5. Angka Desimal Berulang Campuran:

2.75 (dua per tujuh per lima) adalah bilangan rasional, karena dapat ditulis sebagai campuran antara bilangan bulat 2 dan pecahan 3/4.

6. Rasio Harga:

Ketika Anda membandingkan harga dua item, misalnya, harga makanan ringan A yang Rp 15 dan harga makanan ringan B yang Rp 25, Anda menggunakan bilangan rasional (15/25) untuk mengekspresikan perbandingan harga keduanya.

7. Waktu dalam Jam dan Menit:

Misalnya, waktu 2 jam 30 menit dapat diekspresikan sebagai bilangan rasional 2.5 jam.

8. Persentase:

50% dapat diekspresikan dalam bentuk pecahan 1/2.

9. Kecepatan:

Ketika Anda mengukur kecepatan, seperti 60 kilometer per jam, ini juga merupakan bilangan rasional.

10. Uang dalam Bentuk Pecahan:

Ketika Anda memiliki uang dalam bentuk pecahan, seperti 5 dolar 75 sen, ini adalah bilangan rasional.

Contoh-contoh di atas mencerminkan bagaimana bilangan rasional merasuk dalam berbagai aspek kehidupan sehari-hari, dari matematika dasar hingga situasi praktis seperti keuangan, waktu, dan perbandingan. Bilangan rasional digunakan dalam berbagai konteks untuk mengukur, menghitung, dan membandingkan jumlah, rasio, dan proporsi.

Bilangan rasional adalah komponen penting dalam matematika dan dalam banyak aspek kehidupan sehari-hari. Mereka adalah bilangan yang dapat diwakili dalam bentuk pecahan, dan kita dapat melakukan berbagai operasi hitung pada mereka. Memahami konsep bilangan rasional sangat penting dalam pemecahan masalah matematika, sains, dan banyak bidang lainnya. Dengan pemahaman yang kuat tentang bilangan rasional, kita dapat lebih percaya diri dalam menghadapi berbagai tantangan matematika dan aplikasi praktisnya.